Newton の恆等式
Newton's identity
$ e_k(x_1,\dots,x_n):=\sum_{\lambda\subset\Lambda_n,|\lambda|=k}(\prod_{t\in\lambda}x_t)を$ k次の基本對稱式 (elementary symmetric polynomial) とする
$ p_k(x_1,\dots,x_n):=\sum_{i=1}^n{x_i}^k
行列$ Aの冪$ A^kの固有値は$ Aの固有値$ x_iの冪$ {x_i}^kであり、その總和は蹟 (trace)だから$ p_k={\rm tr}(A^k) 恆等式
$ k e_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_1,\dots,x_n)p_i(x_1,\dots,x_n)\quad(1\le n,1\le k\le n)
$ \sum_{i=k-n}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_1,\dots,x_n)p_i(x_1,\dots,x_n)=0\quad(1\le n\le k)
$ p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_1,\dots,x_n)p_i(x_1,\dots,x_n)\quad(1\le n<k)